Именной указатель

Функционал обобщенной энтропии

Общее определение. Пусть задана некоторая категория Q структурированных множеств, задающая для своих объектов А и Х структуру. Преобразования из Х в А можно рассматривать, как допустимые структурой системы способы получить состояние А из состояния Х. В таком случае – число таких способов.

По аналогии со статистической физикой, где различают макросостояние и соответствующий ему набор микросостояний, понятие инварианта состояния системы можно интерпретировать как присущее этому состояние число микросостояний.
Число преобразований зависит как от числа элементов в множествах Х и А, так и от типа структуры, заданной на этих множествах. Чтобы исключить зависимость от числа элементов, сохранив зависимость от структуры, можно рассматривать удельный инвариант , где – инвариант тех же по мощности множеств Х и А, но в категории «бесструктурных» множеств. Введем величину . Смысл ее – логарифм удельного числа преобразований состояния Х в состояние А, или удельного числа способов получения состояния А из Х (иногда такое число способов отождествляют с вероятностью образования состояния). Указанные интерпретации оправдывают употребление для величины термина «обобщенная энтропия состояния А относительно состояния Х» по аналогии с больцмановским подходом к определению энтропии.
Возникшая конструкция обобщенной энтропии получена вне каких-либо статистических или вероятностных предпосылок. Величина обобщенной энтропии может быть строго рассчитана для состояний любых систем, эксплицируемых математическими структурами. Она может быть вычислена для состояний, описываемых множествами с любым – большим или малым – количеством элементов. Вероятностные интерпретации могут возникать при рассмотрении определенных типов систем, но они совершенно не обязательны для расчетов энтропии.
Полученный функционал обобщенной энтропии предлагается применять в методологии экстремальных принципов (т.е. для поиска выделенных – реально осуществляющихся – состояний систем среди всех потенциально возможных), постулируя принцип максимума обобщенной энтропии.

Вид функционала обобщенной энтропии для математической структуры множества с разбиениями. Рассмотрим множество из n элементов, разбитое на w непересекающихся классов с количеством элементов в классе в классе i(), т.е. математическую структуру множеств с разбиениями. Допустимыми преобразованиями, переводящие каждый класс в себя же, являются инъективные, сюръективные, не всюду определенные и не функциональные соответствия. В этом случае функционал обобщенной энтропии имеет вид: . Отметим, что в этом случае формула для обобщенной энтропии полностью совпадает с формулами для энтропии идеального газа Л.Больцмана или для энтропии каналов связи К.Шеннона.

Множествами с разбиениями удобно описывать сообщество одноклеточных микроорганизмов одного трофического уровня (в том числе диссоциантов бактерий), развивающихся в режиме накопительного культивирования. Классы разбиения как раз соответствуют физиологически различным группам организмов, элементы множества – особям. Набор численностей входящих в сообщество групп назовем состоянием сообщества. Переходы сообщества из одного состояния в другое могут быть описаны соответствиями между множествами с разбиениями. На рис. представлены преобразования, которые могут происходить с организмами, и их математическая интерпретация соответствиями между множествами.

	Размножение организмов Отсутствие функциональности соответствия (допустимое преобразование)
	Поглощение одним организмом другого Отсутствие инъективности соответствия (недопустимое преобразование)
	Смерть особи или ее элиминация из сообщества Отсутствие всюду определенности соответствия (допустимое преобразование)
	Интродукция особей в сообщество Отсутствие сюръективности соответствия (недопустимое преобразование)
Рис. Возможные преобразования особей в экологическом сообществе и их математическая интерпретация

П. В. Фурсова

Литература:
Левич А.П. Теория множеств, язык теории категорий и их применение в теоретической биологии. Учебное пособие. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. 190 c.
Левич А.П. Энтропия как мера структурированности сложных систем // Труды семинара “Время, хаос и математические проблемы”. М.: Ин-т математических исследований сложных систем МГУ, 2000. Вып. 2. С.163.
Левич А.П. Принцип максимума энтропии и теоремы вариационного моделирования // Успехи современной биологии, 2004, т. 124, № 6, с. 3-21
A.P. Levich. Variational Modelling Theorems and Algocoenoses Functioning Principles.